本帖最后由 榆林人 于 2017-2-28 09:41 编辑
千古流传的勾股定又添新证
千古流传的勾股定理迄今已有400多种证法，谁能给出一种有别于前人的新证法是极为有趣的，也会引得世人注目。岂料有一位中学教师名叫金明，他真的给出了勾股定理的一种新证法。看来，他是一位不凡的教师。 中等个，膀大腰圆，睁着两只明亮的大眼睛，堂堂的相貌，下巴上有颗痣，这就是金明。在当地对人长痣是有说法的，说“男要朗，女要藏”，意思是说男人的痣要长得醒目，越醒目越有神气，而女人则相反。这么说来，金明的这颗痣是长对了地方，或者意味着他是个有神之人。 对金明的少儿时代我们并不了解，只知道他对勾股定理情有独钟是因为他在中学读书时老师给他们介绍了勾股定理的发现及证明，令他们眼前一亮。遗憾的是许多同学听过之后连想也不去想了解这个勾股定理是多么的不寻常。可它却像磁石一般吸引着金明，并且显示出数学方面的才能。由于他好盘根问底的天性别人给他起了个绰号：为什么学生。 长大以后极具才智以致他最爱好挑战，喜欢解答难题还因为那会产生一种极好的感觉。说到解难题的体会时，他说：“当着手解一个难题时你无法理解它，感到它是那么复杂，让人一点也看不明白；当你最终解决它时，你会不可思议地感到它是那么地美好，它的解法又是那么的精巧。” 大学毕业后金明不满足于当一个按部就班的教书匠，而是坚持不懈地进行数学研究。这绝对是异乎寻常的，他因自己能够在未知领域探索的未能被他人触及的问题所带来的那种愉悦而感到满足，照例会听到同行们的一些非议。他们认为但凡上讲台的都是师范院校毕业的，对于专业知识和教学方法都会标准掌握，大家都在一个水平之上，差别自然就难以形成。即使形成也往往细微的会被粗糙的感知或略不计。于是，也就有人说他：“耗神费力花时地发表那些论文一点价值都没有。” 尽管遭到非议却依然很感兴趣，因为金明觉得在数学圈外，那些论文不管怎样是没什么价值的。他只有一种认知才能免得被别人说成毫无价值，那就是他创建了某些值得创造的东西。但别人并不认可，。即便他的论文发表在国家级、省级学术刊物名扬天下，还不认可。虽未发生撕破脸皮、公开交恶的事，却也使得他与同行们彼此之间的关系显得勉强，为此而感到悲哀。他痛定思痛，只好缄默不语，放弃了许多成名的机会，以免被来自吹毛求疵的一些细微的质疑所分心，变成了一个生活在内心世界的人。不爱说话，沉默寡言的，脸上经常挂着谦逊得几近羞涩的笑容。而原本他是爱说爱笑的，不得已变成现在这么低调的人是很难的。但他做到了，而且不是一两年，甚至一辈子，是不公平的。可是，如果不这样，他就会生活在是非圈中永无宁日，可能不会有建树，起码不会有大的建树，不公平也就似乎让它不公平了。 说真的，他默默无语又腼腆的样子非常打动人，和那些趋炎附势、低眉顺眼而令人讨厌的人相比，有人倒觉得他还是在坦坦荡荡做人，以致他孤独研究的岁月中在数学学术刊物上发表的那些数学论文，让人们渐渐地勾勒出一幅他和那驾驭着他生命之谜的不平凡的画面。 起初的论文主要是议论数学教学中他的所感所悟，免不了要历经异乎寻常的数学上的曲折、真知灼见和灵感闪现。当教师需要处理某些教学上的疑惑问题，或学生欲处理一些特别复杂的计算和难以对付的问题时，他所提供的帮助一直被认为是很有价值的，因而成为了数学界响当当的人物。遗憾的是，他没有得到他应有的赞誉，更不会像明月一样当空挂着，就像一句老话说的，墙里开花墙外香，他周围的人并不仰望他崇敬他——金明！ 却有人酸溜溜地对他说：“啊，金明，你不知道，这是你的幸运啊！” 也许吧。 因为金明知道，此人刚参加工作那会儿，也试着写了几篇论文，一篇都没有发表，十分沮丧自不必说。 也有人语重心长地对他说：“我不知道你发表那些论文图了个啥，有的人发表一篇论文就大张旗鼓的炫耀的荣誉地位都上去了你知不知道？” 这他当然知道。 但他们不知道，金明不是因为追求名利才搞教学研究的。 后来他又盯上了数学中许多未解之谜和有趣的东西。由于他头脑缜密，思睿观通，不时发表了一些自己的新成果。上个月《中学数学杂志》 有一篇他撰写的“勾股定理又添新证”，在数学界就轰动不小。因为勾股定理的证明源于两千多年前古希腊时代，而且它是数学中最重要的定理已经为数学界共识。 金明曾研究过的那么多数学是怎么不知不觉地聚集起来，成了他向两千多年前古希腊的毕达哥拉斯已经证明、后世的数学家们又先后给出了400多种证法的勾股定理挑战的工具并取得成功的呢？这说来话长，还有一段故事呢！ 故事发生的时间大概要追溯到三年前的暑假吧。金明像往常一样走进市图书馆，是为了找一本关于数学史方面的图书而来的。使他惊愕和失望的是，仅有的一本《勾股定理的证法１００种》已经被人借走了。 借书者是一个不太熟悉的同行，住在城市另一头。金明写信给这位同行解释说他迫切地需要这本书以完成一篇论文的写作，并客气地问对方什么时候可以归还这本书。几天以后，同行回信说，这本书他突然找不见了，现在正为这件事发愁呢！ 又几天后，金明收到了在省城召开的数学教育学术会议的通知。这太好了，顺便可以去图书大厦看看有没有《勾股定理的证法１００种》这本书。这可是一举两得的好事。按理说他应该为此感到高兴。可他想想要为此放下教学工作耽误学生的功课，虽是一两天他还是不情愿。 这哪是他金明参加那个期盼已久的学术会议的时间？什么事都是有时间地点之区别的，同样的事，在不同的时间或地点，性质和效果完全不一样的，甚至有天壤之别。他这么想来，终于决定放弃这次机会。 买书的事儿是在暑假。 事有凑巧。临放假时金明又收到了在省城召开初等数学学术会议的通知。这又是一举两得的好事。 省城是他的第二故乡，在那里他读完了大学。许多年过去了，已建设成了一座很美的城市。街上种满了花，很抒情的；城市的主干道两侧几乎都排列着或大或小、或土或洋的风景树。眼下是夏季，正是鲜花盛开之际，满街的鲜花灿烂如霞，空气里弥漫着鲜花绽放出来的袭人的香气。 金明一来到省城，就闻见了鲜花飘渺的香气。会议期间，他抽空去了图书大厦，径直来到了教育类图书区，便聚精会神地在一个个书架搜索起来。但是，看来没有一本书能吸引他。目前那些专门辅导学生的数学书籍和练习册，已经叫他腻味透了。除了这些，就是各种类型的作文书。这里哪怕只有一本书有点儿动人心灵的数学史故事，有点儿引导学生发现数学规律和了解数学的奥秘，那也勉强凑合了。可是，就连这样的书也没有一本。无意间，他的目光落在一本书上，正是《勾股定理的证法100种》，一股“踏破铁鞋无觅处得来全不费工夫”的感觉袭上心头。想想之前，他零零星星地见过勾股定理的若干种证法，却只有一点模糊的记忆。但明白那些证法个个独特精彩，他想过要是有一本书将这所有的证法囊括其中那就再好不过了。现在，他为他发现这本书而感到高兴，可也觉得遗憾。因为他知道勾股定理的证法有400多种，不能看到另外300多种证法。但他还是决定买下此书，不就是10块钱的事嘛！ 自后的日子里，金明一有时间便翻阅此书。在当下人际关系比什么都重要的情况下，他这样是很不识时务的，他也很明白这个道理。但他不在乎，以往他也不在乎这些。所以对他人际关系方面的情况尽可能少说，这是因为一方面它本身就没什么好说的，不就是那么回事吗？另一方面有些可以说的对他来说又很没趣。比如，在不得已参加一些同学聚会的时候，他显得有些心烦意乱和沉默寡言，总是不时地下意识看看手表，表明他有强烈的时间观念。虽然表面害怕上别人接近他，很显然他宁愿自己离人们尽可能远一点，并喜欢这种感觉，孤独的感觉。但骨子里有似乎希望人接近。很难想象，如果只有害怕，和同学怎么相处，肯定很难相处。好在还有希望。他曾经非常坦率地解释说，业余时间他除了钻研的问题外不可能集中精力于别的事情，而他的研究正处于关键时刻，不过或许以后，他会乐意与人相处。在别人看来，他似乎是属于另一个世界的人，与人聊天总是心不在焉的。但与别人讨论他热衷于的某个问题时却相反，表现出来一种数学教师特有的精细和固执，而他放大了这种固执。给人印象最深刻的是他的谈话中表现出来的是惊人的精确性和条理性，超过了所有人的期望，而且说话喜欢一边比划动作，一会儿耸肩，一会儿摊手的，跟个老外似的。站立的姿势总是那么稍微倾斜，重心落在一只脚跟上，让人感到他是那么自在，满不在乎。人们很容易从他咄咄逼人的言谈举止中看出，他喜欢跟人拧巴。 就有人不觉犯起了寻思，最终还是认为他读的书多。在有限的时间里他虽然没有像古人那般“头悬梁锥刺股”，但也是废寝忘食。就拿他得了《勾股定理证法１００种》这本书来说，不知有多少个夜晚在读这本书。即便上床睡觉的时候，总是希望能够梦见那另外的300多种证法，可他极少做梦。 但问题不在这里，问题是有一天他大睁着眼望着天花板发呆时突发奇想，想试着给出一种证法。为了得到这个目的，他绞尽脑汁地研究了那书中介绍的每一种证法，试图从中受到启迪。再想想他以往的研究一向进展顺利，硕果累累，就信心倍增，即便使出浑身解数也要给出一种新的证法。 虽然他被有机会向勾股定理这样一个著名定理宣战这一点所吸引，但要发誓给出它的一种新证法的主要原因还在于有许多人想在它上面做文章，多是探索其证法。而它的证法如前所述迄今已有400多种，想再给出一种新的证法犹如上天入地总是引人注目的。在一个数学家看来，新证法的出现只是遵循思维逻辑发展的一种必然结果。然而在未出现之前，人们还是难于想象的所以数学有了那么多未解之谜，人们揭开的只是冰山一角。 金明已经耗时费力地苦思冥想，遗憾的是毫无进展。有一阵子，他怀疑自己是否疯了，怎么会想着在这世界上最伟大的定理上打主意。但从已经看到的那些证法里，他顺便了解到了丰富的数学史知识，更加懂得了勾股定理对于数学以及它的实践者所具有的更深层次上的重要意义。这一点或许正是他对勾股定理这么执着的动力源泉。他已经研究了《勾股定理的证法100种》中的每一种证法，从证明的思路看，虽然各自有别，但无一例外都是利用了面积相等。再从简繁程度看，几乎都不相上下，难分高低优劣。这就是说，通过研究这本书中的100种证法，很难受到启迪，更不要说给出一种新的证法了。但他不想放弃，冥冥之中还特别研究了毕达哥拉斯给出的证法，希望像曾任美国总统的加菲尔德一样受到启迪而给出一种新的证法。但很失望，只是学到了一些他认为对自己有用的东西。 他又这样想，既然耗时费力无功而返，说明要探索勾股定理的一种新证法，必须要与已有的证法截然不同，那么这就意味着他不能用惯常的老一套的思路去探索，必须另辟蹊径。 但话这么说，其实谁都知道，另辟蹊径谈何容易。又从一些数学史书中他明白地知道创建数学是一个充满痛苦且极为神秘的历程，通常证明的目标是清楚的，但道路却隐没在迷雾之中；数学家们踌躇不决地推算着，担心着每一步都有可能使论证朝着完全错误的方向进行，还担忧根本没有路存在，意味着所做出的努力都是徒劳。 的确如此。 于是，金明这样想，倘若一味地钻牛角会事倍功半，甚至无功而返。 也于是，他理智地决定，暂时放弃探究勾股定理的新证，而是打开思路，不能老是在“圈子内”思来想去，想到的看到的无非还是前辈已给出的那400多种证法而已，而是要跳出圈子，在更广阔的数学领域去探索。 问题是在数学的哪个具体领域去探索？ 众所周知，数学知识体系越来越庞大，从某种意义上说，跳出原有的“圈子”比之前的探索更困难。所以打开思路这想法让人感到他似乎已经有些失去理智。 其实不然。其实他心里很清楚，所谓大打开思路、扩大视野，那也是阅读更多的数学经典著作，了解更奇妙的数学证明方法。 时间过得真快，转眼之间，秋季过了又是冬季。寒冷的冬季又被人们抛到了脑后，春暖花开的季节已经来临。 在严肃压抑的校园里呆久了的金明，想投入大自然的怀抱，享受大自然风光，那是多么快活的事啊！ 在一个星期六上午，他手里捏着一本《数学解题思维窍门》翻阅着，也在等待女儿晓宇回来共进午餐，然后一家人去郊游。而在这时，妻子坐在沙发上阅读最新一期的《家庭杂志》。 在翻阅到某一页时，金明的注意力被这一页关于圆幂定理的证法吸引住了。他像进入了无人之地，自言自语地，一边跟梦游似的，飘飘然地踱步到沙发前，呆呆地立了一会，又飘飘然地跌坐在沙发上，右手轻轻地点击着沙发扶手，完全是一副半梦半醒的样子。妻子感觉到了什么，瞟了他一眼。他惊异于他这种突然的变化，从刚才手里捏着一本书不经意的样子，到现在恍如隔世的样子，中间似乎没有任何过渡。像他身体里有个神秘的开关，可以自便地转换他的状态。 这是他永远不会忘记的充满灵感的瞬间，后来当他叙述这一时刻时，记忆如潮澎湃，激动得泪水夺眶而出：“我无法理解我之前怎么会没想到它，足足有5分钟我望着它不敢相信。我无法控制自己，我太兴奋了，这是我钻研数学的经历中最重要的时刻，我所取得的成果中再也没有哪一件会具有这么重要的意义。” 这不仅仅是将会使他梦想成真，成为三年潜心努力的终结，而且是他默认了无数困惑、迷茫和孤寂的一个个细节；在于深知自己必须摆脱世俗的偏见，用汗水滋润心灵，用勤奋耕耘理想；在信念驱使下，他天才的发挥，剑走偏锋，一下来了个出奇制胜。 妻子已经将《家庭杂志》放到茶几上，好奇地看着他。 他在沙发上迷迷糊糊了一会儿就像又醒过来似的，对她说：“我发现了……” 老实说，等你来，妻子对他这种异想天开的谈吐，包括行为方式已深有领教，不会再有唐突和惊乱。所以，她平静地回敬道： “你又发现什么啦？” 金明摆脱了冥思苦想：“是的，是的，”他谦虚地耸耸肩膀，“不过……” “不过什么？” “好吧，我说，我也能给出一种勾股定理的精巧证法，是一种新方法。” “是吗？”妻子心不在焉地嘟囔说，继续读着她的杂志。 金明犹豫了一会儿，然后鼓起勇气说：“我已经思考三年了，我不想利用那老一套的“面积相等”来证明，而是另辟蹊径，利用一个圆幂定理来证明它。”他说罢就急忙铺纸握笔在纸上“刷刷刷”地写起来。 “那大概是新证法。”她半信半疑地说。 这时金明已写毕站了起来，默默地注视了一会纸片上他写的那些数学符号，有好几处被涂改了。转而看向妻子，因得到解脱而产生振奋：“绝对是一种新方法。” 妻子见他有点儿按捺不住地激动，笑了笑，不知怎么答话，而是喜爱地注视着他。 这是金明以前没有注意到的一种目光，他的确很激动。在一个特别难做的添字游戏中填入最后一个提示词语时总会使人感到满足。再想象一下，花了好长时间研究一个世界上最伟大的定理终于给出了一种新的证明方法时，那该有多大的成就感，哪能不激动呢？但他还没有失去理智。按理智的做法，他还要花更多的时间审查自己的证明过程，以便无懈可击。然而，今天出现了难得的一家人外出郊游的机会，他如鲠在喉，不吐不快一样地放松了戒心。 他见妻子呆在那里，便招了招手：“你来瞧瞧。” “好吧，我看看。”妻子开始感兴趣了。 他看着妻子的脸——那是一张全神贯注而又像画中人那么美丽的脸。她看了到丈夫在纸上写着： 如图，四边形ABCD内接于圆，则AC·BD=AB·DC+BC·AD。 当四边形ABCD为矩形时，上述结论变为AC2=AB2+BC2。 看到这里，她心里涌上一股暖流。丈夫有了新成果，她脸上也有光。暖流过后他还激动不已，想说几句恭维的话却找不到合适的词语，就笑逐颜开起来。她觉得今天郊游的意义非凡，得去特意准备一番。 金明就放下手里的纸片，往窗外看去的时候，外面的街道上车水马龙，好不热闹。收回目光，才发现他对面站着他等待已久的女儿晓宇，她大概是在他和妻子专心看他给出的新证法时回来的吧！ 金明同女儿、妻子共进午餐后，就想让晓宇分享一下他的研究成果。但是，没等他开口，晓宇却扯了一通她在学校里的学习情况，又皱着眉头发了一番对老师的牢骚，说老师一天成心和他们过不去，就知道布置一大堆练习题让他们废寝忘食地去完成。还说她看不出做那么多题与掌握知识有什么关系。 金明想说 “大概与提高学习成绩有关系吧”但他欲言又止。当注意到女儿的困惑，便这么说：“你老师告诉我，从前有一段时间，你在数学方面是挺拔尖的。” “啊，我不想谈那个，”晓宇笑了，“那是老师渴望的想法，他就希望我们都那样。” “是的。但是，你数学学得很好，不是吗？”金明坚持想问下去。 晓宇耸了耸肩：“是的，你说的一点不错。” “那你，你为什么……” “为什么？”晓宇重复了一遍，然后沉思了片刻，“我，我自己也不知道，也许是十几岁孩子的逆反心理吧。我对英语感兴成绩趣还可以，但是对数学就不行，除了沉重的压力，就什么都没有了。”说罢她瘫倒在客厅的沙发上，把毯子拉到头上盖住。在她那疲倦的头脑中，数学题、物理题、化学题、英语题、作文题全都搅在一起了。最后，她终于沉沉入睡…… 中午的什么时候，她突然醒了，并且惊奇地感觉到，她不是躺在客厅的沙发上，而是躺在她的卧室那舒适的弹簧床上。她睁开眼睛，发现父亲的手稿赫然在眼前，她有点儿惊异。 这时，金明笑嘻嘻地说：“宝贝，我要告诉你一件事。” “什么事这么神秘兮兮的，”晓宇沉吟了一下说，“是好事还是坏事？” “你想听好事，还是想听坏事？” “是你的女儿，好事能享，坏事能扛，说吧，什么事？” 金明带点幽默的口吻对女儿说：“看见了没有，我要告诉你的事，都写在这上面呢？” 晓宇就起身，拿手抓过手稿，近看，远看，左看，右看，又放下看。然后带着敬佩的神情笑望着自己的父亲。 “你干吗这样看着我？”金明好奇地问。 “没什么，我只不过是觉得奇怪，你怎么会想到这种证法的？” “不用问，主要是从那里想到的，我想。”他朝着对面摆放了许多数学杂志和数学书的书房指了指，又摇了摇手中《数学解题思维窍门》说，“还有这本书。” “太巧妙了！”晓宇因直接见证了父亲的数学发现这个伟大的时刻，而显得十分激动，作为女儿本能地想到了下一步，“爸，你赶快投出去发表吧，还等什么呀！” “啊，不，”金明完全理解女儿的心情，只是她也应该理解他，发表论文是很谨慎的事。于是他慢条斯理地说，“我还想着推敲一下，免得发表后被别人找出毛病，闹个天大的笑话给自己找难堪。”他分明感到自己真的是越来越多疑，越来越谨慎。是的，是谨慎。 好文章是修改出来的，这道理晓宇懂。“不过，你最好是早点投出去尽快发表。”接下来，她吞吞吐吐了， “我不敢说你这种证法已经有许多人想到了——不是所有人对勾股定理感兴趣。但是，“她加强了语气补充说，“如果有一个人想到了，并给出这种证法让你在杂志上看到，那可就糟了。” 话说到这分儿，一般人都是冲动的。金明虽然心有余悸，依然不乏冲动，却迟迟没有表态，大概还是因为心有余悸吧。但晓宇包括她母亲又把话说得那么头头是道，以至于把他都说服了。 他说：“好，我这就用稿纸誊写。” “写好，我这就给邮局送。”晓宇自告奋勇地说。 不过出于谨慎，金明还是道出了他不急于投稿的理由，然后又把话题转到女儿的学习上来。 他说：“我还想问你一个问题。” “问题？”晓宇沉吟了一下，把手稿放到床头柜上说，“什么问题，你问吧。” “你以后对数学感兴趣吗？”金明问。女儿以前数学还行，但并不感兴趣，他早有些担心。今天他给出了勾股定理的一种新证，引得她那么热心的关注，或许是唤醒了他的心神。 果不其然，晓宇笑了笑说：“以后就不，不一样啦——至少，以后不像以前那样，一看到数学题就头疼，”眨了眨眼睛，目光投向高处，“这数学还是很有趣的，而且，我将来上大学也要学数学。” “你要上大学学数学？”金明话锋一转，“不过，我希望自己的女儿继承父业，如果你真的将来上大学选择数学专业，我可以帮助你实现你的愿望，要是你以后按我的要求去做，你一定会成为数学高手。” 不说晓宇将来是否真的成为数学高手，也不说他们一家人随后的郊游是如何地兴高采烈。据说“勾股定理又添新证”一文发表后，在当地也引起了轰动，教育局长十分看重金明的数学才华，并要后者将所写的每一本书和杂志送给他。可想而知，当局长见到几大包数学书和杂志时，是何等的惊讶！ （QQ：７９４７８０２７８）
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