本帖最后由 榆林人 于 2017-12-28 09:55 编辑
课本该算是教师的老朋友了。每天清晨，当我来到学校，总是习惯地要打开课本看看。等铃声一响，就把课本和教案往胳肢窝一夹，直奔教室。然而，我怎么都没想到，我的这位老朋友竟然还犯错误呢？哈，说来十分有趣。
那天，我兴致勃勃地来到教室，在走道里来回踱步，查阅同学们的作业情况。突然发现一位学生在解答一道教材习题，“把两个全等的三角形按不同的方法拼成四边形，可以拼成几个不同的四边形？”却将题目所说的三角形画成了直角三角形。
我指指作业本中的图形，微笑着问：“这个图形画的对吗？”
这位学生仔细一瞥，愣怔了一下，没敢抬头，嘀咕一句：“老师，是我画错了。”
看着这个学生将三角形改成了“一般三角形”——锐角三角形，我猛然回身。
教室里，教师的猛然回身，确能够给后面的学生以惊吓的。果然，就在我猛然回身后，后面的学生一个个目瞪口呆地看着我，而我却不看他们，眼光绕过他们，使劲地把头一昂，突发奇想，就想到了一个问题。 本来嘛，当你用数学的眼光看周围事物的时候，处处都能提出数学问题；你用数学眼光看数学问题时，往往会产生疑问。这里有什么疑问呢？ 题目中没有明确指出这两个全等三角形的形状，有理由认为，它既可以是锐角三角形，也可以是直角三角形，还可以是钝角三角形。那么，在这种种情况下，所拼成的四边形又是怎样的情形呢？ 为了回答这个问题，数学中有一种解题思维方法——分类法，即对从整体考虑问题变得很难处理时，若把它们适当分类，并就每一类进行探究，则问题变得比较单一，从而为开通解题思路以可能性。按照这个分类法，我们先考论为直角三角形时的情形，两条对应直角边拼在一起，此时有一种情况就不是四边形，而是等腰三角形，这时候的答案就是可以拼成四个不同的四边形。然而教学参考书中给出的答案：可以拼成六个不同的四边形。
一个数学教师所具有的严谨的科学态度和严密的思维逻辑，不仅使我有了这一敏锐发现，而且我的思想在闪闪发光，激情迸发。又有一个问题袭上心头：为等腰直角三角形时能拼成几个不同的四边形呢？ 兴趣盎然地探索了一番，得知答案只有一个：拼成一个四边形（正方形）。这么一来，前面探究的漏洞暴露出来了——考虑不周。但添上一个附加条件，便可以弥补漏洞，即就是将“直角三角形”改为“直角三角形（非等腰）”，然后再讨论“等腰三角形”的情况。这样，我们就对这个问题有了完整、准确的认识。
为钝角三角形时，两条较短对应边拼一起，各有一种情况得到的是凹四边形，而教材中曾有过特别说明，本书中所说的四边形是指凸四边形。这时的答案也该是可以拼成四个不同的四边形。
为等腰三角形时……
为等边三角形时……
按说，教材是不能有一点问题的，如果有，到了课堂上不知道会出现多大的负面影响，会引起学生对教材的怀疑，对老师的怀疑，对学校的怀疑，对教育的怀疑。学生的学习怎么进行？ 简直无法想象！ 但这是教育专家研究的话题，小小教师，真乃胆大妄为。 当我斗胆向教材编委会提出建议时，难免激动和兴奋，难免忐忑不安，也难免有一种奇异的神秘之感。毕竟，这是与国家最权威的教育机构的一次挑战，是犯上。但同时我又深感责任重大，感到肩负着千百万基层教育工作者的重托。于是，我在给教材编委会的信中，从问题的解答出发，对错误进行了分析，后对教材编委会提出建议，对初中生来说，这道习题宜改为：把两个全等的非等腰锐角三角形，按不同的方法拼成四边形，可以拼成几个不同的四边形？
真想不到，编委会回函对我致谢！
欣喜若狂的我感到这个同学犯的错误太美丽了，美的和世界一样伟大！由于他的错误，让教材中深沉多年较隐蔽的一个问题凸现了。 美丽的错误！ 这是多么地富有深刻的内涵和哲理啊！ 我的脑子急速地运转起来。 善于逆向思维的我一旦进入研究领域，就突然变得异常起来，思路不呈直线运行，而是呈跳跃状，时而逆行时会在某一个问题上散开……脑海如潮水般地翻腾着，而且鲜活地来到心间！几乎一刹那间，颇为大胆的构思逐渐在心中萌发。这种构思也让自己感到吃惊，让我有幅无比辉煌的创作蓝图——撰写一篇意味深长、发人深思的数学论文。确立标题时，想起了歌德所言： 错误同真理的关系，就像睡梦同清醒的关系一样，一个人从错误中醒来以新的力量走向真理。 于是论文的标题便定为“美丽的错误”，论文很快发表于《数学教师》（1991.7），还附有编者按：此文以小见大、察微知著、大象无形、大音希声，比起那些婆婆妈妈的面面俱到、滴水不漏，可谓掷地有声了。论文且是以商榷的口吻随同编者按出现在广大数学教师的眼前，期待于而又必然引发公众对其的及时反应。文中我是站在前人（那些教材的作者和责任编辑）的肩膀上回过头评论，就能清楚地知道他们在这个解题中出错的原因。问题是要对三角形的各种可能情况进行分类。要分类，就得有个标准。按角分类？按边分类？还是有其它分类办法？如果把这些问题都没有明确的回答，又怎么能得出正确的结果呢？ 那些教材的作者和责任编辑正是忽略了这个要害的问题。他们想当然地画出两个全等三角形试一试，试了若干次，以为将各种情况都试了，就总结出了结论。这种推理方法叫做归纳推理。在物理、化学、生物、医学等许多实验科学的研究，用归纳推理来验证一条规律、一个结论，是常有的事。但在数学中，似乎不是这样。比如前面所述的这个问题，首先要进行科学的分类，应注意类与类之间不重复，并且所有的情况都含于某一类中，即分类时要注意做到既不重复，又无遗漏。对待这个让那些教材的作者和责任编辑们碰了钉子的问题，我正是从进行科学的分类入手而获得成功的。 就要结束本文时，我又想起曾经有人询问我的一个问题：怎样确定文章的选题呢？ 这个问题虽然一言难尽，但我没有回避。我认为，要确定一篇文章的选题，说难也不难，说容易也不容易。选题常常就在你身边，看你有没有一双敏锐的眼睛，看你有没有一个善于思考的脑子，看你有没有坚持不懈的精神。 纵观千百年来的数学发展史，那些伟大的数学家，差不多都很善于从细小、司空见惯的东西中看出问题，然后追根求源，再谋篇布局。数学家就是我们的榜样，许多卓有成效的教师在研究和发现选题时，都是以数学家为榜样的。就拿我发现“美丽的错误”这个选题来说，我是由一个学生将一般三角形画成了直角三角形这一细微的错误而确定的。
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